数独の解き方

数独を解く方法は簡単なものから複雑なものまで様々です。
また、簡単な方法のみを用いて解ける問題も、複雑な方法を用いなければ解けない問題も存在します。

以下によく使われる数独を解く方法を記載しました。このプログラムも基本的にはこれらの方法を基に作成されております。(適宜、更新予定、最終更新：2015年1月)

解法１－１:ルールをそのまま適用する１

ルールをそのまま適用します。
「ある行、列またはボックスのあるセルに数字が入っている場合、同じ行、列またはボックスのそれ以外のセルにはその数字は入らない」という解法です
例えば、「あるセルに１が入っていれば、そのセルと同じ行の他のセルには１は入らない」ということになります。
もちろん行だけではなく、列でもブロックでも同じです。
下記の例では、赤く囲まれたセルには、１を入れることができないことがわかります。

この方法では、必ずしもセルに数字を入れることができません。（1が入らないことは分かっても、それ以外のどの数字が入るかが分からない。）
ただし、このような「あるセルには●がはいらない」という条件を複数組み合わせることによって、数字を埋めることができます。

解法１－２:ルールをそのまま適用する２

ルールをそのまま適用します。
「ある行、列またはボックスにおいて、ある数字を入れることができるセルが一つしかない場合、そのセルにはその数字が入る」という解法です。
例えば、ある行に１をいれることのできるセルが１つしかなければ、そのセルには１が入ることが分かります。
下記の例では、赤い丸で囲まれたセルに１が入ることが分かります。なぜならば、１行目で１を入れることができるセルが赤い丸で囲まれたセルのみであるからです。 同じボックスにすでに１が入っているため、緑色で囲まれたセルには１を入れることができません(解法１－１)。また、すでに同じ列に１が入っているため、紫色で囲まれたセルにも、１を入れることができません(解法１－１)。

解法２－１:２国同盟　タイプ１

解法1-1の拡張版です。
「ある行、列またはボックスにおいて、２つのセルの数字の候補が２つのみである場合、同じ行、列またはボックスのそれ以外のセルにはそれら２つの数字は入らない」という解法です
例えば、あるボックスにおいて、２つのセルの候補が５と９であった場合（候補は２つのみ）、同じボックスのそれ以外のセルに５および９は入りません。
下記の例では、下の赤いまるで囲まれたセルには、９をいれることはできません。その理由は、緑色で囲まれたセルには明らかに５または９しか入れることはできないためです。 上記のルールを適用すると、同じボックスのそれ以外のセルには５または９をいれることはできません。（５をいれることができないことは、解法１－１より、明らかです。）

解法２－２:２国同盟　タイプ２

解法1-2の拡張版です。
「ある行、列またはボックスにおいて、２種類の数字を入れることができるセルが２つしかない場合、それらのセルにはその２つの数字のいずれかが入る（それ以外の数字は入らない）」という解法です。
例えば、あるボックスにおいて、３および４が入るセルが２つしかない場合、その２つのセルには３か４が入り、それ以外の数字は入らない、ということが分かります。
下の赤い丸で囲まれた２つのセルには、３または４が入ります。なぜならば、３および４を入れることができるセルは、このボックスにはほかに存在しないからです。
言い換えると、この２つのセルには、１、２、５、６、７、８、９は入らないということです。１、２、５、６、７、９が入らないことは解法1－1より明らかですが、8が入らないことは自明ではありません。

解法２－３:ボックスライン

「ある行または列において、ある数字を入れることができるセルがすべて１つのボックス内にある場合、そのボックスのそれ以外のセル（その行また列上にないセル）にはその数字は入らない」という解法です
下記の例では、下の赤いまるで囲まれたセルには、８をいれることはできません。その理由は、青色で囲まれた行において８を入れることができるのは緑色で囲まれたセルのみであり、すべて青色で囲まれたボックス内にあるためです。 上記のルールを適用すると、青色で囲まれたボックスのそれ以外のセルには８をいれることはできません。

解法２－４:ポインティングライン

「あるボックスにおいて、ある数字を入れることができるセルがすべて１つの行または列内にある場合、その行または列のそれ以外のセル（そのボックス内にないセル）にはその数字は入らない」という解法です
下記の例では、下の赤いまるで囲まれたセルには、９をいれることはできません。その理由は、青色で囲まれたボックスにおいて９を入れることができるのは緑色で囲まれたセルのみであり、すべて青色で囲まれた行内にあるためです。 上記のルールを適用すると、青色で囲まれたボックスのそれ以外のセルには９をいれることはできません。

解法３－１:３国同盟　タイプ１

解法１－１、解法２－１の拡張版です。
「ある行、列またはボックスにおいて、３つのセルの数字の候補が３つのみである場合、同じ行、列またはボックスのそれ以外のセルにはそれら２つの数字は入らない」という解法です 例えば、ある列において、３つのセルの候補が１と５と８であった場合（候補は３つのみ）、同じ列のそれ以外のセルに１、５および８は入らない、ことが分かります。
解法２－１から自然に想像できる解法ですが、注意することは、すべてのセルの候補が必ず１と５と８の３つ全部である必要はないということです。
下の赤い丸で囲まれたセルには、８をいれることはできません。その理由は、緑色で囲まれたセルには明らかに１または５または８しか入れることができず、紫色で囲まれたセルには、５と８しか入れることができません。上記のルールを適用すると、この列において、緑または紫色で囲まれた３つのセル以外には１、５および８をいれることはできません。
この例では、紫色のセルの候補が５と８のみでした。それでも３つのセルの候補が１と５と８であれば構わないのです。
もっと極端なケースを考えると、例えば、１つのセルの候補は１と５、２つ目は５と８、３つ目は８と１という場合でもこの解法が適用できます。

解法３－２:３国同盟　タイプ２

解法１－２、解法２－２の拡張版です。
「ある行、列またはボックスにおいて、３種類の数字を入れることができるセルが３つしかない場合、それらのセルにはその３つの数字のいずれかが入る（それ以外の数字は入らない）」 という解法です。
例えば、ある行において、４、５、７が入るセルが３つしかない場合（ただし、３つのセルすべてに４、５、７が入る必要はなく、各セルにどれか２つ以上が入り、３つのセル全部で見たときに４、５、７になっていればよい）、その３つのセルには４か５か７が入り、それ以外の数字は入らない、ということが分かります。
下の赤い丸で囲まれたセルには、４または５または７しか入らず、オレンジ色の丸で囲まれたセルには４または７しか入りません。。その理由は、緑色で囲まれたセルには明らかに４、５、７のいずれの数字も入れることができないからです。言い換えると、４または５または７の３つの数字を入れることができるのは、赤またはオレンジで囲まれた３つのセルのみです。
オレンジ色のセルには５を入れることはできませんが、それは構いません。（解法３－１の注意点と類似）
もっと極端なケースを考えると、例えば、4は1つ目のセルと2つ目のセル、５は2つ目のセルと3つ目のセル、７は三つ目のセルと2つ目のセルの候補という場合でもこの解法が適用できます。

解法４:仮代入、背理法

あるセルにどの数字が入るかは分からないが、とりあえず仮に埋めてみて、それを前提に数独を進めていき、矛盾が発生（つまりあるセルに候補となる数字がなくなってしまう）するかどうかを確認する方法です。
もし矛盾が起これば、仮に埋めた数字が誤っていたことになり、その数字はその場所には入らないことになります。
この方法は、ある意味、いつでも使える方法です。極端な話、あるセルに1から９のどれでも入れることができ（普通はないですが。。。）、どれが入るかわからない場合、とりあえず、1を入れてみる、ということも考えられます。また、1回仮代入した後に再度別のセルで仮代入するなど、仮代入を複数回重ねる方法も考えられます。
しかし、このような極端な方法はコンピュータではともかく、人間が用いる方法としては非現実的です。
数独自動解法プログラムでは、あるセルの候補となる数字が２つしかない場合（かつ上記のほかの方法が採用できない場合）に限ってこの仮代入、背理法の方法を適用します。

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